Theorie
 
 
 
 
 
Computertechnik

 
 
 
 

Zahlen beschreiben elektrische Signale
 
 

.. Multiplikation / Division mit/durch 2
 
 
 
 
 
 

Schon zu der Zeit des Mittelalters waren die Menschen in der Lage zu multiplizieren. Sie taten es nur etwas anders als man es heute tut .. wenn man nicht ohnehin einen Taschenrechner benutzt. Für die damalige Methode war es nur wichtig zu wissen, dass gerade Zahlen schlechte Zahlen sind und ungerade die guten. Zudem musste man Zahlen unter Abtrennung des Restes 0,5, der bei ungeraden Zahlen auftritt, halbieren und verdoppeln können. Beim Halbieren der Zahl konnte man aufhören wenn sich die Zahl 1 ergab.

Beispiel für die Multiplikation zweier Ganzer Zahlen im Mittelalter
Bei der Multiplikation von 105 • 85 behaupten auch heutige Taschenrechner, dass das Ergebnis 8925 sei. Dieses Ergebnis kann man ebenfalls manuell erzeugen, wenn man einen der beiden Faktoren ganzzahlig halbiert und parallel dazu, den zweiten Faktor jeweils verdoppelt. Ist bei der Halbierung der Wert 1 erreicht muss man aufhören. Aus der entstandenen Tabelle streicht man nun alle diejenigen Zeilen heraus, welche bei der Halbierung ein gerades Ergebnis erzeugt haben (die Schlechten) und addiert alle Zahlen der Verdoppelung, die nun übrig bleiben. Die Summe ergibt sich zu 8925, also dem Wert, der das Ergebnis der Multiplikation beider Zahlen darstellt. Wer diesem Mechanismus nicht traut, kann es mit der Multiplikation anderer Ganzer Zahlen versuchen.

 
 
 
 
105
 
•
 
85
 
= 8925

    Aufgabe


Digitalisierung von 105



halbieren


verdoppeln

 


1
 
1
 
105
 
85

    Berechnung

 
2
 
0
 
<- 
52
 
170
 
4
 
0
 
<- 
26
 
340
 
8
 
1
 
13
 
680
 
16
 
0
 
<- 
6
 
1360
 
32
 
1
 
3
 
2720
 
64
 
1
 
1
 
5440
 
---
 
------
 
------
 
105
 
8925

    Ergebnis
 
 
 

Kennzeichnet man überdies die Stellen der Tabelle, in der die guten, ungeraden Ergebnisse der Halbierung stehen mit 1 und die Stellen an denen die schlechten, geraden Ergebnisse stehen mit 0, und bewertet diese Stellen nach der Arithmetik des Zweierzahlensystems muss man weiterhin feststellen, dass diese Mechanik eine Umrechnung der Zahl 105 in das binäre Zahlensystem liefert.

 
 
 

Schieben nach rechts und nach links
Die Multiplikation mit der Zahl 2 bzw. die Division durch die Zahl 2 gestalten sich in der Digitaltechnik einfach. Jedes Schieberegister beherrscht sie, wenn in das durch das Schieben frei werdende Bit, eine 0 nachgeschoben wird.

Bewertet man die Inhalte eines Schieberegisters mit log 0 oder log 1 so ergibt sich beispielsweise die Zahl 105 durch dessen Inhalt .. 0110 1001. Durch das Schieben dieses Inhalts um eine Stelle nach links, ergibt sich der doppelte Wert von 105 • 2 = 210. Schiebt man dagegen den Inhalt um eine Stelle nach rechts, so ergibt sich die ganzzahlige Division durch 2, also die, bei welcher der Rest verworfen wird. 105 : 2 = 52 Rest 1.

 
 
 


0
1
1
0
1
0
0
1
Zahl 105
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


1
1
0
1
0
0
1
0
1 nach links => 210
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


0
0
1
1
0
1
0
0
1 nach rechts => 52
 
 
 

Da auch in den Registern von CPUs durch Maschinenbefehle geschoben werden kann, erscheint der mittelalterliche Algorithmus in einem neuen Licht.




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