Theorie
 
 
 
 
 
Computertechnik

 
 
 
 

Zahlen beschreiben elektrische Signale
 
 

.. Zahlensysteme der Computertechnik
 
 
 
 
 
 
 
1. Allgemeine Feststellungen
In der Programmierung sind vier Zahlensysteme von Belang, wobei das oktale Zahlensystem heute kaum noch gebräuchlich ist. In der Digital- bzw. Computertechnik werden mit den Zahlensystemen elektrische Spannungszustände auf mehreren Leitungen, sogenannten Bussen, beschrieben. Folgende Systeme sind in Gebrauch ..
 
 
 
 

 

 

Name

Basis

Ziffern

Kennung

 

 

dezimales Zahlensystem

10  

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

keine

 

 

duales oder binäres Zahlensystem

2  

0,1

b

 

 

oktales Zahlensystem

8  

0,1,2,3,4,5,6,7

o

 

 

hexa- oder sedezimales Zahlensystem

16  

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

h

 
 
 
 

Zahlensysteme weisen eine Systematik auf, die allen Zahlensystemen gleich ist. Die Basis des Zahlensystems sagt an ..
  • 1. welchen Namen das Zahlensystem trägt
  • 2. wie viele Ziffern das Zahlensystem benutzt
  • 3. welche Wertigkeit oder Packengrösse eine bestimmte Stelle innerhalb der Zahl besitzt
Als Zahl versteht man, eine beliebige Kombination der zur Verfügung stehenden Ziffern. Diesen kann man innerhalb der Zahl eine Stelle zuweisen, deren Nummerierung von rechts nach links mit Null beginnend erfolgt. Welche Wertigkeit (in der Grundschule sagte man Packengrösse) eine solche Stelle besitzt ergibt sich aus dem Ausdruck ..

 
 
 

Wertigkeit der Stelle = Basis Nummer der Stelle

 
 
 
 
Im Zehnerzahlensystem ist das bekanntermaßen die Abfolge 1,10,100,1000 usw. In anderen Zahlensystemen muss sich durch die genannte Berechnungsgrundlage eine andere 'Packengrösse' ergeben.
 

Beispiel 1 – Zahl im Zehnerzahlensystem
Es sei die Zahl 37553 gegeben. Diese ist aus der Kombination der Ziffern 3, 7 und 5 entstanden. In der folgenden Tabelle werden die Nummern der Stellen und ihre Wertigkeiten genannt.

 

Zahl

3

7

5

5

3

 

 

Stellennummer

4

3

2

1

0

 

 

Wertigkeit = Basis Stellennummer

104

103

102

101

100

 

 

Wertigkeit ausgerechnet (Packengrösse)

10.000

1.000

100

10

1

 

 

 

 


Für die Zahl 37553 läßt sich aus der Tabelle entnehmen, dass sie aus 3 Packen zu je 10.000, 7 Packen zu je 1000, 5 Packen zu je 100, 5 Packen zu je 10 und 3 Packen zu je 1 Element besteht. Zusammen eben 37553. Nocheinmal als Rechnung ..

3•104 + 7•103 + 5•102 + 5•101 + 7•100 = 30000 + 7000 + 500 + 50 + 7 = 37557



In den anderen Zahlensystemen funktioniert diese Systematik ebenso, und liefert zugleich eine Grundlage zur Umrechnung zwischen verschiedenen Zahlensystemen.

 

 
 
 
 
 
2. Ziffernvorrat in Zahlensystemen
Die 10 Ziffern des dezimalen Zahlensystem sind die Zeichen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Sie werden wegen des Bekanntheitsgrades auch bei anderen Zahlensystemen verwendet. Bei Systemen deren Basis größer ist als 10 reichen sie aber nicht mehr aus. Hier schöpft man die Ziffern aus einem zweiten, weit bekannten Zeichensatz, den Buchstaben. Im hexadezimalen Zahlensystem mit der Basis 16 benutzt man beispielsweise noch die Buchstaben a,b,c,d,e,f oder A,B,C,D,E,F als Ziffern für Zahlen.

Um die Zahlen verschiedener Zahlensysteme voneinander unterscheidbar zu machen, wurden in der Computertechnik zudem Kennungen eingeführt, die hinter der Zahl geschrieben werden. Das Dezimalsystem erhält wie üblich keine Kennung. Das Dualsystem erhält den Buchstaben b, das Oktalsystem die Kennung o und das Hexadezimalsystem wird durch ein h bezeichnet.

Die nachfolgende Tabelle stellt die Zahlen 1-16 in den vier gebräuchlichen Zahlensystemen gegenüber ..
 
 
 
 


Dualsystem

Oktalsystem

Hexadezimal

Dezimal



0000

0  

0   

0   



0001

1  

1   

1   



0010

2  

2   

2   



0011

3  

3   

3   



0100

4  

4   

4   



0101

5  

5   

5   



0110

6  

6   

6   



0111

7  

7   

7   



1000

10  

8   

8   



1001

11  

9   

9   



1010

12  

A   

10   



1011

13  

B   

11   



1100

14  

C   

12   



1101

15  

D   

13   



1110

16  

E   

14   



1111

17  

F   

15   



1 0000

20  

10   

16   



1 0001

21  

11   

17   


 
 
 
 
..es lässt sich in der Tabelle, beim dualen, oktalen und hexadezimalen Zahlensystem eine Systematik erkennen.

      Die grösste vierstellige Dualzahl endet dort, wo die die grösste einstellige
          Hexadezimalzahl endet.
       Zwischen dualem und oktalem Zahlensystem ist diese Übereinstimmung bei der
           grössten dreistelligen Dualzahl zu finden.

So ist es relativ einfach, mit dieser Tabelle zwischen dualem, oktalem und hexadezimalem Zahlensystem umzurechen ..


Beispiel 2 – nach obiger Tabelle umrechnen
Die Dualzahl 001010011b lässt sich durch Auftrennung in Packen zu 3 bzw. 4 Ziffern, mit Hilfe der obigen Tabelle, in folgende Oktal- bzw. Hexadezimalzahl umrechnen.

                                                  001  010  011 = 123o oder 0101  0011 = 53h, ..

Nur wie lautet das Ergebnis dezimal? Das Dezimalsystem lässt in Bezug auf die Dualzahlen eine Systematik vermissen. Eine Umrechnung ist schwerer. Vor ihrer Behandlung noch kurz eine Zusammenfassung und einige Beispiele.

 
 
 

3. Umrechnungen mit der Tabelle
Eine Dualzahl muss zur Umrechnung in das oktale Zahlensystem, von hinten nach vorne in Dreierpacken zerlegt werden, dann kann man den Dreierpacken die entsprechende oktale Ziffer zuordnen.
Bei hexadezimalen Zahlen unterteilt man die Dualzahl in Viererpacken und findet in der Tabelle die zugehörige Hex-Ziffer. Sollten sich bei der Unterteilung keine Dreier- oder Viererpacken ergeben, können vor der Zahl Nullen angefügt werden. Dieses Umrechnungsprinzip funktioniert auch in umgekehrter Weise.

         -> einige Aufgaben mit Lösungsanimation


4. Umrechnungen über die Wertigkeit ins Dezimalsystem
Wie die Wertigkeit einer Stelle berechnet wird, ist oben am Beispiel einer Dezimalzahl dargestellt. Diese Kenntnis kann gut zur Umrechnung von Dual- und Hexadezimalzahlen in das Zehnerzahlensystem genutzt werden.

Die Hexadezimalzahl 3A78h besitzt danach den Wert ..
3• 163 + A• 162 + 7• 161 + 8• 160
setzt man für A den dezimalen Wert 10, so ergibt sich eine Umrechnungsmöglichkeit der Zahl in das dezimale Zahlensystem.
3•163 + 10•162 + 7•161 + 8•160 = 3•4096 + 10•256 + 7•16 + 8•1 = 14968

Bei Dualzahlen ist alles einfacher, denn es gibt nur die Ziffern 0 und 1. Die Multiplikation mit der Wertigkeit der Stelle, kann nur 0 oder die Wertigkeit selber ergeben. Kennt man die Reihe der Wertigkeiten bei den Dualzahlen, so muss man nur die Wertigkeit der Stellen addieren, bei denen die Ziffer 1 vorkommt.
Die Umrechnung der Dualzahl 0101 0011b in das dezimale Zahlensystem wird so zu der Aufgabe ..


27

26

25

24

23

22

21

20

Wertigkeit als Potenz



128

64

32

16

8

4

2

1

Wertigkeit als Zahl



0

1

0

1

0

0

1

1

Dualzahl



0

64

0

16

0

0

2

1

Ziffer mal Wertigkeit, die Summe ergibt 83


 
 
 
 
5. Rückrechnungen einer Zahl aus dem Dezimalsystem in das
    Hexadezimalsystem, über die Wertigkeit
Will man eine Dezimalzahl in eine Dual- oder Hexadezimalzahl umrechnen, so wird es aufwendiger, da man berechnen muss, wie oft die Packengrössen (Wertigkeit) des Ziel-Zahlensystems in der Dezimalzahl stecken.
 
 
 
 

Beispiel 3
Die Zahl 14968 soll in eine Hexadezimalzahl umgerechnet werden ...


(163)

14968

: 4096

 

= 3 Rest 2680

 

3

 


(162)

2680

: 256

 

= 10 Rest 120

10 =

A

 


(161)

120

: 16

 

= 7 Rest 8

 

7

 


(160)

8

: 1

 

= 8 Rest 0

 

8

 
 
Das Ergebnis ist von oben nach unten gelesen 3A78h was wie bereits oben berechnet 14968 entspricht. Bei Dualzahlen ist ebenso zu verfahren, nur dass die Wertigkeiten anders lauten.
 




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